एक प्रश्न पत्र दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित है और प्रत्येक भाग में $5$ प्रश्न हैं। एक उम्मीदवार प्रत्येक भाग से कम से कम दो प्रश्न चुनकर कुल $6$ प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दे सकता है?

सबसे बड़ी $n \in N$ संख्या ज्ञात कीजिए जिसके लिए $7^n$, $101!$ को विभाजित करता है:

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है। मान लीजिए $x$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है, जिसमें केवल एक अंक दोहराया जाता है और वह ठीक दो बार दोहराया जाता है। मान लीजिए $y$ समुच्चय $S$ के अंकों का उपयोग करके बनाई गई $9$-अंकीय संख्याओं की संख्या है, जिसमें केवल दो अंक दोहराए जाते हैं और उनमें से प्रत्येक ठीक दो बार दोहराया जाता है। तो,

यदि $_nP_r = 30240$ और $\binom{n}{r} = 252$ है,तो $(n, r) = \dots$

यदि $\sum\limits_{r = 0}^{25} {\left( {^{50}C_r \cdot ^{50 - r}C_{25 - r}} \right) = K\left( {^{50}C_{25}} \right)}$,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $286$ है।
$II$. यदि $25! = 10^n \times k, (k \in N)$ है, तो $n=6$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?