$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ का हल क्या है?

माना $y$ अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1 - y \log x}$ का हल है जो $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है। तब, $y$ संतुष्ट करता है:

अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ का हल है

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

यदि $2xy^3dx + x^2y^2dy = ydx - xdy$ और $y(2) = 1$ है,तो $y(-1)$ का मान क्या होगा (जहाँ $y(x)$ दिए गए $x$ के लिए $y$ का मान दर्शाता है):

मान लीजिए कि बिंदुओं $(1, 1)$ और $(\frac{1}{10}, 100)$ से गुजरने वाले एक वक्र पर किसी बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्शरेखा धनात्मक $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है। यदि $PA: PB = 1: k$ है और $y = y(x)$ अवकल समीकरण $e^{\frac{dy}{dx}} = 2x + 1$ का हल है,जहाँ $y(0) = 2$,तो $4y(1) - 5 \log_e 3$ का मान ज्ञात कीजिए।