अवकल समीकरण frac{d^2 y}{d x^2}+y=0 का हल है | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$. हम जाँचते हैं कि क्या $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d

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$y=3 \sin x+4 \cos x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$. हम जाँचते हैं कि क्या $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d x}=3 \cos x-4 \sin x$. पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2}=-3 \sin x-4 \cos x$. इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y = (-3 \sin x-4 \cos x) + (3 \sin x+4 \cos x) = 0$. चूँकि समीकरण संतुष्ट होता है,इसलिए $y=3 \sin x+4 \cos x$ एक हल है। वैकल्पिक विधि: $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ के लिए अभिलक्षणिक समीकरण $m^2+1=0$ है,जो $m = \pm i$ देता है। अतः व्यापक हल $y=c_1 \cos x+c_2 \sin x$ है। विकल्प $A$ इस रूप में है जहाँ $c_1=4$ और $c_2=3$ है।

अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ का हल है

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