એક ચોરસ ABCD ના તમામ શિરોબિંદુઓ વક્ર x^{2}y^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) વક્ર $x^{2}y^{2}=1$ છે,જેનો અર્થ છે $xy=1$ અથવા $xy=-1$. ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,અને $D(-t_2, 1/t_2)

Vedclass · Accepted Answer

$80$

Vedclass · Answer

(D) વક્ર $x^{2}y^{2}=1$ છે,જેનો અર્થ છે $xy=1$ અથવા $xy=-1$. ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(t_1, 1/t_1)$,$B(t_2, -1/t_2)$,$C(-t_1, -1/t_1)$,અને $D(-t_2, 1/t_2)$ છે.$ABCD$ ચોરસ હોવાથી,$AB$ નું મધ્યબિંદુ વક્ર $xy=1$ અથવા $xy=-1$ પર હોવું જોઈએ. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{t_1+t_2}{2}, \frac{1/t_1 - 1/t_2}{2})$ છે.$M$ એ $xy=1$ પર હોય તે માટે,$(\frac{t_1+t_2}{2})(\frac{t_2-t_1}{2t_1t_2}) = 1$,જેનું સાદું રૂપ $t_2^2 - t_1^2 = 4t_1t_2$ થાય છે.વળી,$AB$ નો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ. $AB$ નો ઢાળ $\frac{-1/t_2 - 1/t_1}{t_2 - t_1} = -1$ છે,જેનો અર્થ છે $t_1+t_2 = t_1t_2(t_2-t_1)$.આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $t_1t_2 = 1$ અને $t_2^2 - t_1^2 = 4$ મળે છે. તેથી $t_2^2 + t_1^2 = \sqrt{4^2 + 4(1)^2} = 2\sqrt{5}$.બાજુની લંબાઈનો વર્ગ $AB^2 = (t_2-t_1)^2 + (-1/t_2 - 1/t_1)^2 = 4\sqrt{5}$.$ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB^2 = 4\sqrt{5}$.તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(4\sqrt{5})^2 = 80$ થાય.

Similar Questions

ધારો કે $16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y=44$ એ એક અતિવલય (hyperbola) દર્શાવે છે. તો,

એક અતિવલયનું સમીકરણ શોધો જેના અનંતસ્પર્શકો $3x \pm 5y = 0$ છે અને શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ છે.

જેના નાભિઓ $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $2$ છે તેવા અતિવલયનું સમીકરણ નીચેનામાંથી કયું છે :-

અતિવલય $2x^2 - 3y^2 = 6$ ના સ્પર્શકો વચ્ચેનું અંતર,જે રેખા $x - 2y + 5 = 0$ ને લંબ છે,તે શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module