વિધેય $f(x) = \log_e x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) નું નિષ્કર્ષ સાચું ઠરે તેવી $c$ ની કિંમત કઈ છે?

ધારો કે $f(x)=x^3+2x^2-x$ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે. તો, $(-1,2)$ અંતરાલમાં લેગ્રાન્જના અચળાંક $C$ નું મૂલ્ય શોધો.

નીચેના વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ની લાગુ પડવાની શક્યતા તપાસો:
$(i)$ $f(x) = [x]$,$x \in [5, 9]$ માટે
$(ii)$ $f(x) = [x]$,$x \in [-2, 2]$ માટે
$(iii)$ $f(x) = x^{2} - 1$,$x \in [1, 2]$ માટે

અંતરાલ $x \in [0, 1]$ માં વિધેય $f(x) = x^2(1 - x)^2$ માટે રોલના પ્રમેય (Rolle's theorem) નું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય છે...

ધારો કે $f:(a, b) \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ એ વિકલનીય વિધેય $g(x)$ માટે છે. જો $f(x) = 0$ ને $(a, b)$ માં બરાબર પાંચ ભિન્ન બીજ હોય,તો $g(x) g'(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા:

વિધેય $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ ને અંતરાલ $(0, \pi/2)$ પર ધ્યાનમાં લો. રોલના પ્રમેય મુજબ,એક વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in (0, \pi/2)$ એવી મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.