અંતરાલ $x \in [0, 1]$ માં વિધેય $f(x) = x^2(1 - x)^2$ માટે રોલના પ્રમેય (Rolle's theorem) નું પાલન કરતું $c$ નું મૂલ્ય છે...

અંતરાલ $[-2, 2]$ માં વક્ર $y = x^3$ માટે,તે બિંદુઓના અભિસંધાન (abscissae) શોધો જ્યાં સ્પર્શકનો ઢાળ એ અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી છેદિકા રેખાના ઢાળ જેટલો હોય,જે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ છે.

મધ્યકમાન પ્રમેય $f(b) - f(a) = (b - a) f'(x_1)$ જ્યાં $a < x_1 < b$ માટે,જો $f(x) = 1/x$ હોય,તો $x_1 = ?$

જો $f$ અને $g$ એ $[0, 1]$ માં વિકલનીય વિધેયો હોય જે $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,અને $f(1) = 6$ નું સમાધાન કરે છે,તો કોઈ $c \in (0, 1)$ માટે:

આપેલ છે કે $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,અને $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. તો,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કોના માટે લાગુ પડતું $\text{નથી}$?

વિધેય $f(x) = e^x$ માટે અંતરાલ $[a, b]$ પર જ્યાં $a = 0$ અને $b = 1$ છે,ત્યારે લેગ્રાન્જ મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) મુજબ $c$ ની કિંમત શું થશે?