अंतराल x in [0, 1] पर फलन f(x) = x^2(1 - x)^2 | vedclass

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Question

(C) चरण $1$: रोले प्रमेय की शर्तों की जाँच करें। $f(x)$ एक बहुपद है, इसलिए यह $[0, 1]$ पर संतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।चरण $2$: सीमा मानों की जाँ

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$\frac{1}{2}$

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(C) चरण $1$: रोले प्रमेय की शर्तों की जाँच करें। $f(x)$ एक बहुपद है, इसलिए यह $[0, 1]$ पर संतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।चरण $2$: सीमा मानों की जाँच करें। $f(0) = 0^2(1-0)^2 = 0$ और $f(1) = 1^2(1-1)^2 = 0$। चूंकि $f(0) = f(1)$, रोले प्रमेय लागू होता है।चरण $3$: $f'(x)$ ज्ञात करें। $f(x) = x^2(1 - 2x + x^2) = x^2 - 2x^3 + x^4$। अतः, $f'(x) = 2x - 6x^2 + 4x^3$।चरण $4$: $f'(c) = 0$ को हल करें। $2c - 6c^2 + 4c^3 = 0 \implies 2c(1 - 3c + 2c^2) = 0$।चरण $5$: द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें। $2c(1 - c)(1 - 2c) = 0$। मूल $c = 0, c = 1, c = \frac{1}{2}$ हैं।चरण $6$: रोले प्रमेय के अनुसार $c \in (0, 1)$ होना चाहिए। अतः, $c = \frac{1}{2}$ सही मान है।

अंतराल $x \in [0, 1]$ पर फलन $f(x) = x^2(1 - x)^2$ के लिए रोले प्रमेय (Rolle's theorem) को संतुष्ट करने वाला $c$ का मान है...

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$f:[2,10] \rightarrow R$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(x-6)^2-3, & x \leq 4 \\ x-5, & x > 4 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,

मान लीजिए $f: D \rightarrow R$ जहाँ $D=[0,1] \cup [2,4]$ है, $f(x)=\begin{cases} x, & \text{यदि } x \in [0,1] \\ 4-x, & \text{यदि } x \in [2,4] \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है। तो,

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