मान लीजिए f:[1,3] rightarrow R एक सतत फलन है | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर सतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। लाग्रेंज माध्य मा

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$f(3)-f(1)=5$ असत्य है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर सतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। लाग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर, कम से कम एक बिंदु $c \in (1,3)$ ऐसा विद्यमान है कि: $\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = f^{\prime}(c)$ $\frac{f(3)-f(1)}{2} = |f(c)|^{2} + 4$ चूंकि $|f(c)|^{2} \geq 0$, इसलिए $|f(c)|^{2} + 4 \geq 4$ होता है। अतः, $\frac{f(3)-f(1)}{2} \geq 4$, जिसका अर्थ है कि $f(3)-f(1) \geq 8$। इस प्रकार, कथन $f(3)-f(1)=5$ असत्य है।

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,

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