જો $f$ અને $g$ એ $[0, 1]$ માં વિકલનીય વિધેયો હોય જે $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,અને $f(1) = 6$ નું સમાધાન કરે છે,તો કોઈ $c \in (0, 1)$ માટે:

ધારો કે $f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત અચળ ન હોય તેવું બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(x)=f(1-x)$ અને $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ થાય. તો
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ એ $[0,1]$ પર ઓછામાં ઓછી બે વાર શૂન્ય થાય છે
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

ધારો કે $y = f(x)$ અને $y = g(x)$ એ $[0, 2]$ માં બે વિકલનીય વિધેયો છે,જેથી $f(0) = 3$,$f(2) = 5$,$g(0) = 1$ અને $g(2) = 2$ થાય. જો ઓછામાં ઓછું એક $c \in (0, 2)$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $f'(c) = k g'(c)$ થાય,તો $k$ ની કિંમત શું હશે?

ધારો કે $a > 0$ અને $f$ એ $[-a, a]$ માં સતત છે. ધારો કે $f'(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તમામ $x \in (-a, a)$ માટે $f'(x) \le 1$ છે. જો $f(a) = a$ અને $f(-a) = -a$ હોય,તો $f(0)$ શું થાય?

ધારો કે $f(x)$ એ તમામ $x$ માટે વિકલનીય વિધેય છે, જ્યાં $f'(x) \le 5$ અને $f(1) = 4$ છે. $f(5)$ ની મહત્તમ કિંમત શું છે...

વિધેય $f(x) = e^{-2x} \sin 2x$ ને અંતરાલ $(0, \pi/2)$ પર ધ્યાનમાં લો. રોલના પ્રમેય મુજબ,એક વાસ્તવિક સંખ્યા $c \in (0, \pi/2)$ એવી મળે કે જેથી $f'(c) = 0$ થાય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.