સમાંતર અક્ષોના પ્રમેય $I = I_g + Md^2$ મુજબ,$I$ અને $d$ વચ્ચેનો આલેખ કેવો હશે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક નક્કર ગોળાનું દળ $M$ છે. તેના કેન્દ્રથી $\frac{R}{2}$ અંતરે આવેલા અક્ષને અનુલક્ષીને નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?

$(a)$ લંબ અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: $x-y$ સમતલમાં આવેલા બિંદુ $(x, y)$ નું ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષથી અંતરનો વર્ગ $x^{2}+y^{2}$ છે)
$(b)$ સમાંતર અક્ષોના પ્રમેયને સાબિત કરો. (સૂચના: જો $n$ કણોની સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે,તો $\sum m_{i} r_{i}=0$)

ચાર સમાન નક્કર ગોળાઓ,દરેકનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક રેખામાં એકબીજાને સ્પર્શે છે,જેના કેન્દ્રો $A, B, C, D$ છે. ધારો કે $I_A, I_B, I_C$ અને $I_D$ એ ચાર ગોળાઓની સમગ્ર સિસ્ટમની જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) છે,જે તે ગોળાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને કેન્દ્રો ધરાવતા સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને છે. તો $|I_A - I_B|$ નો તફાવત કેટલો થાય ($MR^2$ માં)?

$2\,kg$ દળ અને $10\,cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમાન નક્કર ગોળાઓને એક હલકા સળિયાના છેડે જડિત કરવામાં આવ્યા છે. ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $40\,cm$ છે. સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $........... \times 10^{-3}\,kg\,m^2$ છે.

એક નક્કર ગોળાનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે. તેના કેન્દ્રથી $\frac{R}{2}$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થાય?