वक्रों 2x^2 + 3y^2 + 10x = 0 और 3x^2 + 5y^2 + | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले किसी भी वक्र का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1 = 2x^2 + 3y^2 + 1

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$90^\circ$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से गुजरने वाले किसी भी वक्र का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S_1 = 2x^2 + 3y^2 + 10x$ और $S_2 = 3x^2 + 5y^2 + 16x$ है।अतः,$(2x^2 + 3y^2 + 10x) + \lambda(3x^2 + 5y^2 + 16x) = 0$।$(2 + 3\lambda)x^2 + (3 + 5\lambda)y^2 + (10 + 16\lambda)x = 0$ ... $(i)$इस समीकरण को मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का युग्म निरूपित करने के लिए,इसे द्वितीय घात का समघातीय समीकरण होना चाहिए। इसलिए,$x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।$10 + 16\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}$।$\lambda = -\frac{5}{8}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$(2 + 3(-\frac{5}{8}))x^2 + (3 + 5(-\frac{5}{8}))y^2 = 0$$(\frac{16 - 15}{8})x^2 + (\frac{24 - 25}{8})y^2 = 0$$\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{8}y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$।यह रेखाओं के युग्म $x - y = 0$ और $x + y = 0$ को निरूपित करता है।ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1$ हैं। चूँकि $m_1 	imes m_2 = -1$,रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं और उनके बीच का कोण $90^\circ$ है।

वक्रों $2x^2 + 3y^2 + 10x = 0$ और $3x^2 + 5y^2 + 16x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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$(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच की दूरी $3$ इकाई है और $k > 0$ है, तो रेखाओं के समीकरण हैं:

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