रेखा x+2y=k वक्र 2x^2-2xy+3y^2+2x-y-1=0 को दो | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखा $x+2y=k$ के लिए,$\frac{x+2y}{k}=1$ है। वक्र के समीकरण $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(1)-(1)^2=0$ में यह मान रखने पर: $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)\left(

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$\pm 1$

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(A) दी गई रेखा $x+2y=k$ के लिए,$\frac{x+2y}{k}=1$ है। वक्र के समीकरण $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)(1)-(1)^2=0$ में यह मान रखने पर: $2x^2-2xy+3y^2+(2x-y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$. $k^2$ से गुणा करने पर: $k^2(2x^2-2xy+3y^2)+k(2x^2+4xy-xy-2y^2)-(x^2+4xy+4y^2)=0$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2(2k^2+2k-1) - xy(2k^2-3k+4) + y^2(3k^2-2k-4) = 0$. चूंकि $OA \perp OB$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(2k^2+2k-1) + (3k^2-2k-4) = 0$. $5k^2 - 5 = 0$. $k^2 = 1$. अतः,$k = \pm 1$.

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वृत्त $x^2 + y^2 = 3$ और रेखा $x + y = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाएं हैं:

$(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच की दूरी $3$ इकाई है और $k > 0$ है, तो रेखाओं के समीकरण हैं:

दो वक्रों $x^2+y^2+gx+c=0$ और $x^2+y^2+2fy-c=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाएं समकोण पर हों,तो उसकी शर्त है:

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