निम्नलिखित का उत्तर दें और औचित्य सिद्ध करें: क्या $x^{6}+2 x^{3}+x-1$ को $x$ में $5$ घात वाले बहुपद से विभाजित करने पर भागफल $x^{2}-1$ हो सकता है?

(B) नहीं। बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार,यदि $p(x)$ भाज्य है और $g(x)$ भाजक है,तो $p(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)$ होता है,जहाँ $\text{deg}(r(x)) < \text{deg}(g(x))$ होता है।
यहाँ,$\text{deg}(p(x)) = 6$ और $\text{deg}(g(x)) = 5$ दिया गया है।
यदि भागफल $q(x) = x^{2}-1$ है,तो $\text{deg}(q(x)) = 2$ होगा।
गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $\text{deg}(g(x)) + \text{deg}(q(x)) = 5 + 2 = 7$ होगी।
चूँकि भाज्य $p(x)$ की घात $6$ है,और गुणनफल $g(x) \cdot q(x)$ की घात $7$ है,इसलिए $x^{2}-1$ भागफल नहीं हो सकता क्योंकि गुणनफल की घात भाज्य की घात से अधिक नहीं हो सकती (यह मानते हुए कि शेषफल शून्य है या कम घात वाला है)।
अतः,$x^{2}-1$ भागफल नहीं हो सकता।