$y = \ln x$,$y = \ln|x|$,$y = |\ln x|$ और $y = |\ln|x||$ वक्रों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल कितना है?

रेखाओं $x=1, x=2$ और वक्रों $x(y-e^x)=\sin x$ तथा $2xy=2\sin x+x^3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है

वक्रों $y=1+3x-2x^2$ और $y=\frac{1}{x}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक बिंदु $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ है। मान लीजिए कि इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{24}(\ell \sqrt{5}+m)-n \log_{e}(1+\sqrt{5})$ है,जहाँ $\ell, m, n \in N$ है। तो $\ell+m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्र $y = x^2 + 1$ और मूल बिंदु से खींची गई इसकी स्पर्श रेखाओं द्वारा घिरा क्षेत्रफल है

मान लीजिए $f: R \to R$ एक फलन है ताकि $f(x) + 3f(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x, x \in R$। मान लीजिए $R$ पर $f$ का अधिकतम मान $\alpha$ है। यदि वक्रों $g(x) = x^2$ और $h(x) = \beta x^3, \beta > 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\alpha^2$ है, तो $30\beta^3$ का मान ———— है।

माना $A_{1}=\{(x, y):|x| \leq y^{2},|x|+2 y \leq 8\}$ और $A_{2}=\{(x, y):|x|+|y| \leq k\}$ है। यदि $27 \times \text{Area}(A_{1}) = 5 \times \text{Area}(A_{2})$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।