माना A_{1}={(x, y):|x| leq y^{2},|x|+2 y leq | vedclass

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Question

(A) क्षेत्र $A_{1}$ को $|x| \leq y^{2}$ और $|x|+2y \leq 8$ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूंकि दोनों असमिकाएं $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए क्षेत

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$6$

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(A) क्षेत्र $A_{1}$ को $|x| \leq y^{2}$ और $|x|+2y \leq 8$ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूंकि दोनों असमिकाएं $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0)$ में क्षेत्रफल का $2$ गुना होगा।प्रथम चतुर्थांश में,क्षेत्र $x = y^{2}$ और $x = 8 - 2y$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^{2} = 8 - 2y \implies y^{2} + 2y - 8 = 0 \implies (y+4)(y-2) = 0$। चूंकि $y \geq 0$,इसलिए $y = 2$ प्राप्त होता है।Area $(A_{1}) = 2 \left[ \int_{0}^{2} y^{2} dy + \int_{2}^{4} (8-2y) dy ight]$$= 2 \left[ \left( \frac{y^{3}}{3} ight)_{0}^{2} + \left( 8y - y^{2} ight)_{2}^{4} ight]$$= 2 \left[ \frac{8}{3} + (32 - 16) - (16 - 4) ight] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 16 - 12 ight] = 2 \left[ \frac{8}{3} + 4 ight] = 2 \left( \frac{20}{3} ight) = \frac{40}{3}$.क्षेत्र $A_{2}$ का मान $|x|+|y| \leq k$ है,जो $(\pm k, 0)$ और $(0, \pm k)$ शीर्षों वाला एक वर्ग है। इस वर्ग का क्षेत्रफल $2k^{2}$ है।दिया गया है कि $27 	imes 	ext{Area}(A_{1}) = 5 	imes 	ext{Area}(A_{2})$:$27 	imes \frac{40}{3} = 5 	imes 2k^{2}$$9 	imes 40 = 10k^{2}$$360 = 10k^{2} \implies k^{2} = 36 \implies k = 6$.

माना $A_{1}=\{(x, y):|x| \leq y^{2},|x|+2 y \leq 8\}$ और $A_{2}=\{(x, y):|x|+|y| \leq k\}$ है। यदि $27 \times \text{Area}(A_{1}) = 5 \times \text{Area}(A_{2})$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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क्षेत्र $R=\{(x,y):xy \le 8, 1 \le y \le x^{2}, x \ge 0\}$ का क्षेत्रफल है

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