क्षेत्र R={(x,y):xy le 8, 1 le y le x^{2}, x | vedclass

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Question

(C) क्षेत्र $R$, $y=x^2$, $y=1$, और $xy=8$ (या $y=8/x$) द्वारा परिबद्ध है।सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$x^2=1 \implies x=1$ (चूंकि $x \ge 0

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$\frac{2}{3}(24\,\log_{e}(2)-7)$

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(C) क्षेत्र $R$, $y=x^2$, $y=1$, और $xy=8$ (या $y=8/x$) द्वारा परिबद्ध है।सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:$x^2=1 \implies x=1$ (चूंकि $x \ge 0$)$x^2=8/x \implies x^3=8 \implies x=2$$8/x=1 \implies x=8$क्षेत्रफल $A$ दो समाकलों के योग द्वारा दिया जाता है:$A = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx + \int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx$पहले समाकल का मूल्यांकन:$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$दूसरे समाकल का मूल्यांकन:$\int_{2}^{8} (\frac{8}{x} - 1) dx = [8 \ln|x| - x]_{2}^{8} = (8 \ln 8 - 8) - (8 \ln 2 - 2) = 8(3 \ln 2) - 8 - 8 \ln 2 + 2 = 24 \ln 2 - 8 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - 6$कुल क्षेत्रफल $A = \frac{4}{3} + 16 \ln 2 - 6 = 16 \ln 2 - \frac{14}{3} = \frac{48 \ln 2 - 14}{3} = \frac{2}{3}(24 \ln 2 - 7)$.

क्षेत्र $R=\{(x,y):xy \le 8, 1 \le y \le x^{2}, x \ge 0\}$ का क्षेत्रफल है

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$y^2=x$ और $y=x$ वक्रों के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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