निम्नलिखित दो कथनों के बीच:
कथन $-I$ : माना $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{b}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है। तब सदिश $\vec{r}$ जो $\vec{a} \times \vec{r}=\vec{a} \times \vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{r}=0$ को संतुष्ट करता है,का परिमाण $\sqrt{10}$ है।
कथन $-II$ : एक त्रिभुज $ABC$ में,$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\frac{3}{2}$ है।

यदि $ABCDEF$ एक नियमित षट्कोण है,और $\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} + \vec{AF} = k \vec{AD}$ है,तो $k = \dots$

सदिश $\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\overrightarrow{AC} = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}$ एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ हैं। $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका की लंबाई ............. $unit$ है।

मान लीजिए कि एक त्रिभुज के तीन शीर्षों के स्थिति सदिश $4 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} - 3 \overrightarrow{r}$,$-5 \overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ और $2 \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} + 2 \overrightarrow{r}$ हैं। यदि त्रिभुज के लंबकेंद्र $(O)$ और परिकेंद्र $(C)$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\frac{\overrightarrow{p} + \overrightarrow{q} + \overrightarrow{r}}{4}$ और $\alpha \overrightarrow{p} + \beta \overrightarrow{q} + \gamma \overrightarrow{r}$ हैं,तो $\alpha + 2 \beta + 5 \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए कथनों का मिलान स्तंभ $II$ में दिए गए मानों से कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ यदि $\vec{a}=\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}, \vec{b}=-\hat{j}+\sqrt{3} \hat{k}$ और $\vec{c}=2 \sqrt{3} \hat{k}$ एक त्रिभुज बनाते हैं,तो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच त्रिभुज का आंतरिक कोण है	$(p)$ $\frac{\pi}{6}$
$(B)$ यदि $\int_a^b(f(x)-3 x) d x=a^2-b^2$ है,तो $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान है	$(q)$ $\frac{2 \pi}{3}$
$(C)$ $\frac{\pi^2}{\ln 3} \int_{1 / 6}^{5 / 6} \sec (\pi x) d x$ का मान है	$(r)$ $\frac{\pi}{3}$
$(D)$ $|z|=1, z \neq 1$ के लिए $|\operatorname{Arg}(\frac{1}{1-z})|$ का अधिकतम मान है	$(s)$ $\pi$
	$(t)$ $\frac{\pi}{2}$

निम्नलिखित में से कौन सा हमेशा सत्य नहीं है?