ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણા $A, B$ અને $C$ ના દ્વિભાજકો તેના પરિવૃતને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ $DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ} - \frac{1}{2}A, 90^{\circ} - \frac{1}{2}B$ અને $90^{\circ} - \frac{1}{2}C$ છે.

(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે,જ્યાં $\angle A, \angle B$ અને $\angle C$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો પરિવૃતને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે.
$DE, EF$ અને $FD$ ને જોડો.
સમાન વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (કારણ કે $CF$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $BE$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક છે)
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
તેથી,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
આમ,$\Delta DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ અને $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ છે.