निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,lim _{n r | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{

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$\log \sqrt[3]{2}$

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(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{r^3+n^3}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^2}{n^3( (r/n)^3 + 1 )}$ के रूप में लिख सकते हैं।$n$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^2}{(r/n)^3 + 1}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन की परिभाषा $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,$S = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^3+1} dx$ प्राप्त होता है।माना $u = x^3+1$,तो $du = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{du}{3}$।जब $x=0$,तो $u=1$। जब $x=1$,तो $u=2$।अतः,$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [\ln |u|]_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{3} \ln 2 = \ln 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$।

निश्चित समाकलन की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{1^3+n^3}+\frac{2^2}{2^3+n^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\sum\limits_{r = 0}^n {\frac{n}{{{{\left( {2r + n} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों में से:
$(S1): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}(2+4+6+\ldots+2n)=1$
$(S2): \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{16}}(1^{15}+2^{15}+3^{15}+\ldots+n^{15})=\frac{1}{16}$

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{2}^{3} x^{2} d x$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=$

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