गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके दर्शाइए कि $(x-3)$ बहुपद $p(x) = 12x^3 - 31x^2 - 18x + 9$ का एक गुणनखंड है और फिर बहुपद का गुणनखंडन कीजिए।

(A) चरण $1$: यह दर्शाने के लिए कि $(x-3)$ एक गुणनखंड है,हम $p(3)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$p(3) = 12(3)^3 - 31(3)^2 - 18(3) + 9$
$p(3) = 12(27) - 31(9) - 54 + 9$
$p(3) = 324 - 279 - 54 + 9 = 0$.
चूंकि $p(3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $(x-3)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
चरण $2$: $p(x)$ को $(x-3)$ से विभाजित करने पर द्विघात बहुपद प्राप्त होता है।
$12x^3 - 31x^2 - 18x + 9 = (x-3)(12x^2 + 5x - 3)$.
चरण $3$: द्विघात बहुपद $12x^2 + 5x - 3$ का गुणनखंडन कीजिए।
$12x^2 + 9x - 4x - 3 = 3x(4x + 3) - 1(4x + 3) = (3x - 1)(4x + 3)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंडन $(x-3)(3x-1)(4x+3)$ है।