(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણ

Vedclass · Accepted Answer

$^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ એ પ્રથમ પદ $a = (x + 3)^{n - 1}$,સામાન્ય ગુણોત્તર $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ અને $n$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \frac{(x + 3)^{n - 1} [1 - (\frac{x + 2}{x + 3})^n]}{1 - \frac{x + 2}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^{n - 1} [\frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3)^n}]}{\frac{(x + 3) - (x + 2)}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3) - (x + 2)} = (x + 3)^n - (x + 2)^n$.
હવે,આપણે $(x + 3)^n - (x + 2)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ નો સહગુણક શોધીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} x^{n-k} a^k$.
$(x + 3)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 3^{n-r} = ^nC_r x^r 3^{n-r}$ છે.
$(x + 2)^n$ માટે,$x^r$ ધરાવતું પદ $^nC_{n-r} x^r 2^{n-r} = ^nC_r x^r 2^{n-r}$ છે.
આમ,$x^r$ નો સહગુણક $^nC_r 3^{n-r} - ^nC_r 2^{n-r} = ^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$ છે.

$(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x + 3)^{n - 3}(x + 2)^2 + ... + (x + 2)^{n - 1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ ના સહગુણકો શોધો,જ્યાં $0 \le r \le (n - 1)$ છે.

Similar Questions

$(\alpha + p)^{m - 1} + (\alpha + p)^{m - 2} (\alpha + q) + (\alpha + p)^{m - 3} (\alpha + q)^2 + \dots + (\alpha + q)^{m - 1}$ ના વિસ્તરણમાં $\alpha^t$ નો સહગુણક શોધો,જ્યાં $\alpha \neq -q$ અને $p \neq q$ છે.

ધારો કે $\left(x-\frac{3}{x^2}\right)^n, x \neq 0, n \in N$ ના વિસ્તરણમાં પ્રથમ ત્રણ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો $376$ છે. તો $x^4$ નો સહગુણક $......$ છે.

${\left( {\sqrt[3]{2} + \frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}} \right)^n}$ માં,જો શરૂઆતથી $7^{th}$ પદ અને અંતથી $7^{th}$ પદનો ગુણોત્તર $\frac{1}{6}$ હોય,તો $n = $

જો $(2+\frac{x}{3})^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{7}$ અને $x^{8}$ ના સહગુણકો સમાન હોય,તો $n$ ની કિંમત $.....$ છે.

$n \in N$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેથી $(1+x^2)^2(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x$, $x^2$ અને $x^3$ ના સહગુણકો સમાંતર શ્રેણીમાં હોય:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module