(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (x + 3)^{n - 1}$,सार्व अनुपात $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ और $n$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी

Vedclass · Accepted Answer

$^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$

Vedclass · Answer

(B) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (x + 3)^{n - 1}$,सार्व अनुपात $q = \frac{x + 2}{x + 3}$ और $n$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$ का उपयोग करते हुए:
$S_n = \frac{(x + 3)^{n - 1} [1 - (\frac{x + 2}{x + 3})^n]}{1 - \frac{x + 2}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^{n - 1} [\frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3)^n}]}{\frac{(x + 3) - (x + 2)}{x + 3}} = \frac{(x + 3)^n - (x + 2)^n}{(x + 3) - (x + 2)} = (x + 3)^n - (x + 2)^n$.
अब,हम $(x + 3)^n - (x + 2)^n$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक ज्ञात करते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} x^{n-k} a^k$.
$(x + 3)^n$ के लिए,$x^r$ युक्त पद $^nC_{n-r} x^r 3^{n-r} = ^nC_r x^r 3^{n-r}$ है।
$(x + 2)^n$ के लिए,$x^r$ युक्त पद $^nC_{n-r} x^r 2^{n-r} = ^nC_r x^r 2^{n-r}$ है।
अतः,$x^r$ का गुणांक $^nC_r 3^{n-r} - ^nC_r 2^{n-r} = ^nC_r(3^{n - r} - 2^{n - r})$ है।

$(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x + 3)^{n - 3}(x + 2)^2 + ... + (x + 2)^{n - 1}$ के विस्तार में $x^r$ के गुणांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \le r \le (n - 1)$ है।

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