k के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जि | vedclass

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Question

(B) माना $2^x = t$ है। चूँकि $x > 0$,इसलिए $t > 1$ होगा। समीकरण $t^2 - (k + 2)t + 2k = 0$ बन जाता है।गुणनखंड करने पर: $(t - k)(t - 2) = 0$ प्राप्त होत

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$( - \infty, 1 ]$

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(B) माना $2^x = t$ है। चूँकि $x > 0$,इसलिए $t > 1$ होगा। समीकरण $t^2 - (k + 2)t + 2k = 0$ बन जाता है।गुणनखंड करने पर: $(t - k)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।अतः,मूल $t_1 = k$ और $t_2 = 2$ हैं।मूल समीकरण का ठीक एक धनात्मक मूल होने के लिए,हम $t$ के मूलों का विश्लेषण करते हैं:$1$. एक मूल $t_2 = 2$ पहले से ही $1$ से बड़ा है,जो $x = \log_2(2) = 1$ देता है,जो एक धनात्मक मूल है।$2$. समीकरण का केवल एक धनात्मक मूल होने के लिए,दूसरे मूल $t_1 = k$ को ऐसा होना चाहिए कि $x$ धनात्मक न हो। चूँकि $t = 2^x$,इसलिए $t > 0$ आवश्यक है। यदि $t_1 = k \le 1$ है,तो $x = \log_2(k) \le 0$ प्राप्त होता है।$3$. यदि $k = 2$ है,तो मूल $t = 2, 2$ हैं। अतः $x = 1$ (केवल एक ही भिन्न धनात्मक मूल)। इस प्रकार $k=2$ एक हल है।$4$. यदि $k \le 1$ है,तो मूल $t_1 \le 1$ और $t_2 = 2$ हैं। $t_1 \le 1$ से $x \le 0$ प्राप्त होता है और $t_2 = 2$ से $x = 1$ प्राप्त होता है। यह शर्त को पूरा करता है।अतः,$k$ के मानों का समुच्चय $(-\infty, 1] \cup \{2\}$ है।

$k$ के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए समीकरण $4^x - (k + 2)2^x + 2k = 0$ का ठीक एक धनात्मक मूल है।

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x = \sqrt{625}$
$II.$ $y = \sqrt{676}$

मान लीजिए $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ जहाँ $a, b, c \in R$ के पूर्णांक मूल हैं और $P(6) = 3$ है,तो '$a$' का मान क्या नहीं हो सकता है?

यदि $x$ समीकरण $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$ का एक हल है,जहाँ $x \ge \frac{1}{2}$,तो $\sqrt{4x^2 - 1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x+y=3$ और $xy=2$ है,तो $x^3-y^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

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