एक अतिपरवलय H : x^{2}-2y^{2}=4 पर विचार करें। | vedclass

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Question

(C) दिया गया अतिपरवलय $x^{2}-2y^{2}=4$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=2$ है। उत्केंद

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$\frac{7}{\sqrt{6}}-2$

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(C) दिया गया अतिपरवलय $x^{2}-2y^{2}=4$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=2$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है। नाभि $F$ का मान $(ae, 0) = (2 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}, 0) = (\sqrt{6}, 0)$ है। अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ के लिए बिंदु $P(4, \sqrt{6})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x x_{1}}{4}-\frac{y y_{1}}{2}=1$ है। $(x_{1}, y_{1}) = (4, \sqrt{6})$ रखने पर,हमें $\frac{4x}{4}-\frac{\sqrt{6}y}{2}=1$ प्राप्त होता है,जो $x - \frac{\sqrt{6}}{2}y = 1$ या $2x - y\sqrt{6} = 2$ में सरल हो जाता है। $Q$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $y=0$ रखें: $2x=2 \Rightarrow x=1$. अतः,$Q(1, 0)$. $R$ ज्ञात करने के लिए,स्पर्शरेखा के समीकरण में $x=\sqrt{6}$ (नाभिलंब) रखें: $2(\sqrt{6}) - y\sqrt{6} = 2 \Rightarrow y\sqrt{6} = 2\sqrt{6}-2 \Rightarrow y = 2 - \frac{2}{\sqrt{6}}$. अतः,$R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$. शीर्षों $Q(1, 0)$,$F(\sqrt{6}, 0)$,और $R(\sqrt{6}, 2 - \frac{2}{\sqrt{6}})$ वाले $\Delta QFR$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊंचाई}$ है। आधार $QF = |\sqrt{6}-1|$. ऊंचाई $FR = |2 - \frac{2}{\sqrt{6}}|$. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes (\sqrt{6}-1) 	imes 2(1 - \frac{1}{\sqrt{6}}) = (\sqrt{6}-1) 	imes \frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6}-1)^{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6+1-2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}-2$.

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अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 8$ के किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

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