અંતરાલ $[1,3]$ માં List-$I$ માં આપેલા તમામ વિધેયોને ધ્યાનમાં લો. List-$II$ માં List-$I$ ના વિધેયો પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરીને મેળવેલ '$c$' ના મૂલ્યો છે. વિધેયો અને '$c$' ના મૂલ્યોને જોડો.
(Table same as English)

જો રોલનું પ્રમેય વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ માટે અંતરાલ $[-1, 1]$ માં બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ લાગુ પડતું હોય,તો $2a + b$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x)=x^3+2x^2-x$ એ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય છે. તો, $(-1,2)$ અંતરાલમાં લેગ્રાન્જના અચળાંક $C$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$\psi_2:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,$f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$,અને $g:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એવા વિધેયો છે કે જેથી $f(0)=g(0)=0$,$\psi_1(x)=e^{-x}+x$ જ્યાં $x \geq 0$,$\psi_2(x)=x^2-2x-2e^{-x}+2$ જ્યાં $x \geq 0$,$f(x)=\int_{-x}^{x}(|t|-t^2)e^{-t^2} dt$ જ્યાં $x>0$,અને $g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} dt$ જ્યાં $x>0$.
$(1)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ દરેક $x>1$ માટે,એક એવું $\alpha \in(1, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_1(x)=1+\alpha x$
$(C)$ દરેક $x>0$ માટે,એક એવું $\beta \in(0, x)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\psi_2(x)=2x(\psi_1(\beta)-1)$
$(D)$ $f$ એ અંતરાલ $[0, \frac{3}{2}]$ પર વધતું વિધેય છે
$(2)$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $\psi_1(x) \leq 1$,બધા $x>0$ માટે
$(B)$ $\psi_2(x) \leq 0$,બધા $x>0$ માટે
$(C)$ $f(x) \geq 1-e^{-x^2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{2}{5}x^5$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે
$(D)$ $g(x) \leq \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{7}x^7$,બધા $x \in(0, \frac{1}{2})$ માટે

જો $f$ અને $g$ એ $[0, 1]$ માં વિકલનીય વિધેયો હોય જે $f(0) = 2$,$g(1) = 2$,$g(0) = 0$,અને $f(1) = 6$ નું સમાધાન કરે છે,તો કોઈ $c \in (0, 1)$ માટે:

ધારો કે $f(x)$ એ $[2,7]$ માં વિકલનીય વિધેય છે. જો $f(2)=3$ અને $(2,7)$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ હોય, તો $x=7$ આગળ $f(x)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?