વિધેય $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$,$x \in R$ ધ્યાનમાં લો.
વિધાન-$1$: $f'(4) = 0$.
વિધાન-$2$: $f$ એ $[2, 5]$ માં સતત છે,$(2, 5)$ માં વિકલનીય છે અને $f(2) = f(5)$ છે.

વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી $g(x)$ માટે,$m_g$ એ $g(x)$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $S$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદીઓનો ગણ છે જે $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. બહુપદી $f$ માટે,$f'$ અને $f''$ અનુક્રમે તેના પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમના વિકલિતો દર્શાવે છે. તો $(m_f + m_{f'})$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત,જ્યાં $f \in S$,કેટલી થાય?

આપેલ છે કે $f(x) = 4 - (\frac{1}{2} - x)^{2/3}$,$g(x) = \begin{cases} \frac{\tan([x])}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$,$h(x) = \{x\}$,અને $k(x) = 5^{\log_2(x + 3)}$. તો,અંતરાલ $[0, 1]$ માં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ કોના માટે લાગુ પડતું $\text{નથી}$?

જો વિધેય $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર રોલનું પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય અને $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $p$ અને $q$ ની કિંમત શોધો.

અંતરાલ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ માં $f(x)=\cos x-\sin 2x$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયનો અચળાંક $c$ શું છે?

$[0,4]$ માં $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.