आव्यूह f(x) = begin{bmatrix} cos x & -sin x & | vedclass

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Question

(D) कथन $I$ की जाँच करने के लिए: हम $f(x)$ में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करके $f(-x)$ प्राप्त करते हैं।$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x)

Vedclass · Accepted Answer

कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सत्य हैं।

Vedclass · Answer

(D) कथन $I$ की जाँच करने के लिए: हम $f(x)$ में $x$ को $-x$ से प्रतिस्थापित करके $f(-x)$ प्राप्त करते हैं।$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & -\sin(-x) & 0 \ \sin(-x) & \cos(-x) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \ -\sin x & \cos x & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.अब,$f(x) \cdot f(-x)$ की गणना करें:$f(x) \cdot f(-x) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \ \sin x & \cos x & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \ -\sin x & \cos x & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x + \sin^2 x & 0 & 0 \ 0 & \sin^2 x + \cos^2 x & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.चूँकि $f(x) \cdot f(-x) = I$,इसलिए $f(-x)$,$f(x)$ का व्युत्क्रम है। अतः,कथन $I$ सत्य है।कथन $II$ की जाँच करने के लिए: $f(x) \cdot f(y)$ की गणना करें:$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \ \sin x & \cos x & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & -\sin y & 0 \ \sin y & \cos y & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x \cos y - \sin x \sin y & -(\cos x \sin y + \sin x \cos y) & 0 \ \sin x \cos y + \cos x \sin y & \cos x \cos y - \sin x \sin y & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ और $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:$f(x) \cdot f(y) = \begin{bmatrix} \cos(x+y) & -\sin(x+y) & 0 \ \sin(x+y) & \cos(x+y) & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = f(x+y)$.अतः,कथन $II$ भी सत्य है।

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