आव्यूह P = begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 2 & | vedclass

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Question

(C) $Q^{-1} = Q^T \implies QQ^T = I$। अतः,$Q$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।मान लीजिए $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_

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$16$

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(C) $Q^{-1} = Q^T \implies QQ^T = I$। अतः,$Q$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।मान लीजिए $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है।प्रतिबंध $PQ = QP$ का अर्थ है:$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 2c_1 \ 2a_2 & 2b_2 & 2c_2 \ 3a_3 & 3b_3 & 3c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2a_1 & 2b_1 & 3c_1 \ 2a_2 & 2b_2 & 3c_2 \ 2a_3 & 2b_3 & 3c_3 \end{bmatrix}$अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $2c_1 = 3c_1 \implies c_1 = 0$,$2c_2 = 3c_2 \implies c_2 = 0$,$3a_3 = 2a_3 \implies a_3 = 0$,और $3b_3 = 2b_3 \implies b_3 = 0$।चूंकि $Q$ लांबिक है,$Q^T Q = I$। $Q = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 \ a_2 & b_2 & 0 \ 0 & 0 & c_3 \end{bmatrix}$ के लिए,प्रतिबंध $Q^T Q = I$ का अर्थ है $a_1^2 + a_2^2 = 1$,$b_1^2 + b_2^2 = 1$,$a_1b_1 + a_2b_2 = 0$,और $c_3^2 = 1$।चूंकि प्रविष्टियाँ पूर्णांक हैं,$c_3 \in \{1, -1\}$। $2 	imes 2$ ब्लॉक के लिए,पूर्णांक प्रविष्टियों वाले संभावित लांबिक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 & 0 \ 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \ -1 & 0 \end{bmatrix}$ हैं।ऐसे $8$ आव्यूह हैं और $c_3$ के लिए $2$ विकल्प हैं,जिससे कुल $8 	imes 2 = 16$ आव्यूह प्राप्त होते हैं।

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$\triangle ABC$ में,यदि $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|=0$ है,तो $\cos A \cos B+\cos B \cos C+\cos C \cos A=$

$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \Rightarrow A^2-2 A=$

यदि $[x \ -5 \ -1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = O$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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