क्रमित युग्मों $(x, y)$ की संख्या जिनके लिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & x \\ y & 1 & 2 \end{bmatrix}$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) और सममित (symmetric) आव्यूह है,है

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ है। यदि $B = I - {}^{5}C_{1} (\operatorname{adj} A) + {}^{5}C_{2} (\operatorname{adj} A)^{2} - \dots - {}^{5}C_{5} (\operatorname{adj} A)^{5}$ है,तो आव्यूह $B$ के सभी अवयवों का योग क्या है?

मान लीजिए $\alpha \beta \gamma = 45$; $\alpha, \beta, \gamma \in R$ है। यदि कुछ $x, y, z \in R$ के लिए $x(\alpha, 1, 2) + y(1, \beta, 2) + z(2, 3, \gamma) = (0, 0, 0)$ है और $xyz \neq 0$ है,तो $6\alpha + 4\beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = [a_{ij}]_{2 \times 2}$ जहाँ सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} \neq 0$ और $A^2 = I$ है। मान लीजिए $a$,$A$ के सभी विकर्ण तत्वों का योग है और $b = |A|$ है,तो $3a^2 + 4b^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $K = \left|\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \ldots \infty \text{ तक}$, तो $K = $

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।