मान लीजिए कि $m$ और $M$ क्रमशः $\left|\begin{array}{ccc}\cos ^{2} x & 1+\sin ^{2} x & \sin 2 x \\ 1+\cos ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin 2 x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं। तो क्रमित युग्म $(m, M)$ किसके बराबर है?

केवल $0$ या $1$ अवयवों वाले $2$ क्रम के सभी सारणिकों के समुच्चय से एक सारणिक यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। चुने गए सारणिक का मान धनात्मक होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए कि $A$, $B$ और $C$ वास्तविक प्रविष्टियों वाले तीन $2 \times 2$ आव्यूह हैं, जैसे कि $B = (I + A)^{-1}$ और $A + C = I$ है। यदि $BC = \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ और $CB \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \end{bmatrix}$ है, तो $x_1 + x_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & b & 1 \end{bmatrix}$ और $\operatorname{adj} M = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $a+b=3$
$(2)$ $\operatorname{det}(\operatorname{adj} M^2) = 81$
$(3)$ $(\operatorname{adj} M)^{-1} + \operatorname{adj} M^{-1} = -M$
$(4)$ यदि $M \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,तो $\alpha - \beta + \gamma = 3$

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $tr(A)$ को $A$ की विकर्ण प्रविष्टियों का योग कहें। मान लीजिए $A^2 = I$ है।
कथन-$1$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ है।
कथन-$2$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $tr(A) \neq 0$ है।

समुच्चय $\{0, 1, 2, 3\}$ से अवयव लेने वाले $3 \times 3$ आव्यूहों $A$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि $AA^{T}$ के सभी विकर्ण अवयवों का योग $9$ हो।