एक चर के गैर-स्थिर अवकलनीय फलन f पर विचार करे | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ है।$y=0$ रखने पर, हमें $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $f(0)=1$ है।$x$ के स

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$\frac{p^{2}}{q}$

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(A) दिया गया फलन समीकरण $\frac{f(x)}{f(y)}=f(x-y)$ है।$y=0$ रखने पर, हमें $\frac{f(x)}{f(0)}=f(x)$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $f(0)=1$ है।$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{f^{\prime}(x)}{f(y)}=f^{\prime}(x-y)$ प्राप्त होता है।$x=0$ रखने पर, हमें $\frac{f^{\prime}(0)}{f(y)}=f^{\prime}(-y)$ प्राप्त होता है।चूंकि $f^{\prime}(0)=p$, इसलिए $f^{\prime}(-y) = \frac{p}{f(y)}$ है।मूल समीकरण का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $f(x) \cdot (-\frac{f^{\prime}(y)}{(f(y))^2}) = f^{\prime}(x-y) \cdot (-1)$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर $\frac{f(x) f^{\prime}(y)}{(f(y))^2} = f^{\prime}(x-y)$ हो जाता है।$y=0$ के लिए, $\frac{f(x) f^{\prime}(0)}{(f(0))^2} = f^{\prime}(x)$, इसलिए $f^{\prime}(x) = p f(x)$ है।यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसका हल $f(x) = e^{px}$ है।अतः $f^{\prime}(x) = p e^{px}$ है।दिया गया है कि $f^{\prime}(5) = q$, इसलिए $p e^{5p} = q$, जिसका अर्थ है $e^{5p} = \frac{q}{p}$ है।हमें $f^{\prime}(-5) = p e^{-5p} = \frac{p}{e^{5p}} = \frac{p}{q/p} = \frac{p^2}{q}$ ज्ञात करना है।

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