બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો,જે દરેક વર્તુળ x^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{\frac{1}{2

Vedclass · Accepted Answer

$A, C$

Vedclass · Answer

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.વર્તુળ $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{\frac{1}{2}(1 + m^2)}$ છે.બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{1}{m^2} = \frac{1 + m^2}{2} \Rightarrow 2 = m^2 + m^4 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$ મળે છે.$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$,તેથી $m^2 = 1$,જે $m = \pm 1$ આપે છે.સ્પર્શકો $y = x + 1$ અને $y = -x - 1$ છે. તેમનું છેદબિંદુ $Q$ એ $(-1, 0)$ છે.અંતર $OQ = 1$,જે અર્ધ-મુખ્ય ધરી $a = 1$ છે.ગૌણ ધરીની લંબાઈ $2b = \sqrt{2}$ છે,તેથી $b = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે $b^2 = \frac{1}{2}$.ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ છે.ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1/2)}{1} = 1$. આમ,$(A)$ સાચું છે.ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - x^2)} dx = \sqrt{2} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.$= \sqrt{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \sqrt{2} \left( (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) \right)$.$= \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{8}(\pi - 2) = \frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$. આમ,$(C)$ સાચું છે.

Similar Questions

રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો અભિલંબ હોય,તો $c = $

ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે. જો તેની એક નિયામિકા $x = 4$ હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો:

જો ઉપવલય (ellipse) ના નાભિલંબ (latus rectum) ના અંત્યબિંદુઓ એક ચોરસના શિરોબિંદુઓ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module