$4 \, cm$,$5 \, cm$ और $7 \, cm$ भुजाओं वाला एक त्रिभुज बनाइए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ पहले त्रिभुज की संगत भुजाओं की $2:3$ के अनुपात में हों।
(N/A) डेटा: $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
रचना: $\Delta ABC$ के समरूप $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
$(2)$ $\overleftrightarrow{BC}$ के उस अर्धतल में जो $A$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{BX}$ खींचिए ताकि $\angle CBX$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,केंद्र $B_1$ और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B-B_1-B_2$ हो। पुनः,उसी त्रिज्या और केंद्र $B_2$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_3$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B_1-B_2-B_3$ हो।
$(4)$ रेखाखंड $\overline{B_3C}$ खींचिए।
$(5)$ $B_2$ से होकर $\overline{B_3C}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{BC}$ को $P$ पर काटे।
$(6)$ $P$ से होकर $\overline{CA}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{AB}$ को $Q$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BC}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{B_3C} \parallel \overleftrightarrow{B_2P}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BP:BC = BB_2:BB_3 = 2:3$ है।
इसी प्रकार,$\overleftrightarrow{BC}$ और $\overleftrightarrow{BA}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{CA} \parallel \overleftrightarrow{PQ}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BQ:BA = BP:BC = 2:3$ है।
रचना: $\Delta ABC$ के समरूप $\Delta BPQ$ की रचना कीजिए ताकि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ हो।
रचना के चरण:
$(1)$ $\Delta ABC$ की रचना कीजिए जिसमें $AB = 4 \, cm$,$BC = 7 \, cm$ और $AC = 5 \, cm$ है।
$(2)$ $\overleftrightarrow{BC}$ के उस अर्धतल में जो $A$ को समाहित नहीं करता है,एक किरण $\overrightarrow{BX}$ खींचिए ताकि $\angle CBX$ एक न्यून कोण हो।
$(3)$ एक उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $B$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_1$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए। इसी प्रकार,केंद्र $B_1$ और उसी त्रिज्या के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_2$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B-B_1-B_2$ हो। पुनः,उसी त्रिज्या और केंद्र $B_2$ के साथ,$\overrightarrow{BX}$ को $B_3$ पर काटने के लिए एक चाप लगाइए ताकि $B_1-B_2-B_3$ हो।
$(4)$ रेखाखंड $\overline{B_3C}$ खींचिए।
$(5)$ $B_2$ से होकर $\overline{B_3C}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{BC}$ को $P$ पर काटे।
$(6)$ $P$ से होकर $\overline{CA}$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो $\overline{AB}$ को $Q$ पर काटे।
इस प्रकार,$\Delta BPQ$ अभीष्ट त्रिभुज है।
औचित्य: $\overleftrightarrow{BX}$ और $\overleftrightarrow{BC}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{B_3C} \parallel \overleftrightarrow{B_2P}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BP:BC = BB_2:BB_3 = 2:3$ है।
इसी प्रकार,$\overleftrightarrow{BC}$ और $\overleftrightarrow{BA}$ रेखाएँ $\overleftrightarrow{CA} \parallel \overleftrightarrow{PQ}$ की तिर्यक रेखाएँ हैं।
अतः,$BQ:BA = BP:BC = 2:3$ है।
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