फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 4, & \text{यदि } 1 < x < 3 \\ 5, & \text{यदि } 3 \le x \le 10 \end{cases}$ बिंदु $x=3$ पर।
(D) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} 3, & \text{यदि } 0 \le x \le 1 \\ 4, & \text{यदि } 1 < x < 3 \\ 5, & \text{यदि } 3 \le x \le 10 \end{cases}$ है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=3$ पर फलन का मान ज्ञात करेंगे।
$1$. $x=3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 5$ (परिभाषा के तीसरे भाग के अनुसार)।
$2$. $x=3$ पर बाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (4) = 4$।
$3$. $x=3$ पर दाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (5) = 5$।
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 3} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $f$ बिंदु $x=3$ पर संतत नहीं है।
$x=3$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और $x=3$ पर फलन का मान ज्ञात करेंगे।
$1$. $x=3$ पर फलन का मान:
$f(3) = 5$ (परिभाषा के तीसरे भाग के अनुसार)।
$2$. $x=3$ पर बाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (4) = 4$।
$3$. $x=3$ पर दाएँ पक्ष की सीमा:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (5) = 5$।
चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $(\lim_{x \to 3^-} f(x) = 4)$ दाएँ पक्ष की सीमा $(\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5)$ के बराबर नहीं है,इसलिए सीमा $\lim_{x \to 3} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,फलन $f$ बिंदु $x=3$ पर संतत नहीं है।
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