आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

माना $H_{n} = \frac{x^2}{1+n} - \frac{y^2}{3+n} = 1$,जहाँ $n \in N$ है। माना $k$,$n$ का सबसे छोटा सम मान है जिसके लिए $H_{k}$ की उत्केंद्रता (eccentricity) एक परिमेय संख्या है। यदि $l$,$H_{k}$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई है,तो $21l$ का मान $.......$ है।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर खींची गई लंबवत दूरियों का गुणनफल है

अतिपरवलय $4x^2 - y^2 = 12$ की स्पर्श रेखाओं के समीकरण $y = 4x + c_1$ और $y = 4x + c_2$ हैं,तो $|c_1 - c_2|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ का केंद्र मूल बिंदु पर है और नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C_1$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को स्पर्श करता है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए $C_2$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को उसके शीर्ष पर स्पर्श करता है और जिसका केंद्र उसकी एक नाभि पर है। यदि $C_1$ और $C_2$ के क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्रमशः $36 \pi$ और $4 \pi$ हैं,तो $H$ के नाभिलंब की लंबाई (इकाइयों में) क्या है?

यदि $\theta$ बिंदु $(2,3)$ से अतिपरवलय $5x^2-6y^2-30=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का न्यून कोण है,तो $\tan \theta=$