वक्र $x^2 - y^2 = a^2$ की उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

एक अतिपरवलय (hyperbola),दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$ की नाभियों से होकर गुजरता है और इसके अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्ष क्रमशः दीर्घवृत्त के दीर्घ और लघु अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि उनकी उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,तो अतिपरवलय का समीकरण ...... है।

उस अतिपरवलय की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए जिसके नाभिलंब की लंबाई $8$ है और जिसके संयुग्मी अक्ष की लंबाई उसकी नाभियों के बीच की दूरी की आधी है:

मान लीजिए कि $e$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ की उत्केंद्रता है। यदि $\frac{1}{e}$ एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता है,तो इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रता क्या होगी?

एक अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं और इसकी उत्केंद्रता $\frac{3}{2}$ है। अतिपरवलय पर प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु पर रेखा $2x + 3y = 6$ के लंबवत एक स्पर्श रेखा खींची गई है। यदि स्पर्श रेखा द्वारा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं,तो $|6a| + |5b|$ का मान $..........$ है।

अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।