લંબકોણીય અતિવલય (rectangular hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી છે?

ધારો કે અતિવલય $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\sqrt{\frac{5}{2}}$ છે અને તેની નાભિલંબની લંબાઈ $6\sqrt{2}$ છે. જો $y = 2x + c$ એ અતિવલય $H$ નો સ્પર્શક હોય,તો $c^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $(0, \pm 4)$ અને $(0, \pm 2)$ એ અતિવલયના અનુક્રમે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓ હોય,તો તેનું સમીકરણ શું થાય?

જો સમીકરણ $x^2 - 5x - 14 = 0$ ના બીજ પૈકીનું એક બીજ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની અર્ધ-અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ હોય અને બીજા બીજનો વર્ગ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ હોય,તો ધન $x$-અક્ષ પર આવેલા અતિવલયનું નાભિ કયું છે?

બિંદુઓ $A(0,4)$ અને $B(0, -4)$ આપેલ છે. તો બિંદુ $P(x,y)$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો કે જેથી $|AP - BP| = 6$ થાય.

હાયપરબોલા $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ધ્યાનમાં લો જેનું એક નાભિ $P(-3,0)$ પર છે. જો તેના બીજા નાભિમાંથી પસાર થતું લેટસ રેક્ટમ $P$ પર કાટખૂણો બનાવે છે અને $a^2b^2 = \alpha\sqrt{2} - \beta$,જ્યાં $\alpha, \beta \in N$,તો $\alpha + \beta$ નું મૂલ્ય શોધો.