बिंदु (1, -1) पर वृत्त की स्पर्श रेखा का समीक | vedclass

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Question

(A) वृत्त का केंद्र रेखाओं $x - y = 1$ और $2x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y) + (2x + y) = 1 + 3 \implies 3x =

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$x + 4y + 3 = 0$

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(A) वृत्त का केंद्र रेखाओं $x - y = 1$ और $2x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y) + (2x + y) = 1 + 3 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$.$x = \frac{4}{3}$ को $x - y = 1$ में रखने पर: $\frac{4}{3} - y = 1 \implies y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.अतः,केंद्र $O$ बिंदु $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ है।स्पर्श बिंदु $P(1, -1)$ है।त्रिज्या $OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{\frac{1}{3} - (-1)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = 4$ है।चूंकि स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{1}{4}$ होगी।बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{4}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:$y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 1)$$4(y + 1) = -(x - 1)$$4y + 4 = -x + 1$$x + 4y + 3 = 0$.

$List-I$	$List-II$
$(P) \alpha \text{ बराबर है}$	$(1) (-2,4)$
$(Q) r \text{ बराबर है}$	$(2) \sqrt{5}$
$(R) A_1 \text{ बराबर है}$	$(3) (-2,6)$
$(S) B_1 \text{ बराबर है}$	$(4) 5$
	$(5) (2,4)$

बिंदु $(1, -1)$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसका केंद्र रेखाओं $x - y = 1$ और $2x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

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