m, n in mathbb{Z} માટે int_0^{2 pi} cos m x c | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$. બીજા સંકલન $J = \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x

Vedclass · Accepted Answer

$\pi$,જો $m = n 
eq 0$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$. બીજા સંકલન $J = \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ ને ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $\sin m(-x) \cos n(-x) = -\sin m x \cos n x$,તેથી વિધેય અયુગ્મ છે. આથી,$J = 0$. હવે,$I = \int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx$ ને ધ્યાનમાં લો. નિત્યસમ $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} [\cos((m-n)x) + \cos((m+n)x)] \, dx$. જો $m 
eq n$ અને $m, n \in \mathbb{Z}$ હોય,તો $k 
eq 0$ માટે $\int_0^{2 \pi} \cos(kx) \, dx = 0$ થાય. તેથી,જો $m 
eq n$ હોય તો $I = 0$. જો $m = n 
eq 0$ હોય,તો $I = \int_0^{2 \pi} \cos^2(mx) \, dx = \int_0^{2 \pi} \frac{1 + \cos(2mx)}{2} \, dx = \frac{1}{2} [x + \frac{\sin(2mx)}{2m}]_0^{2 \pi} = \frac{1}{2} (2 \pi) = \pi$. આમ,જો $m = n 
eq 0$ હોય તો જવાબ $\pi$ મળે છે.

$m, n \in \mathbb{Z}$ માટે $\int_0^{2 \pi} \cos m x \cos n x \, dx + \int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{1}^{3} \frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{4-x}} dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ હોય, તો $M-N$ ની કિંમત શોધો.

$I = \int\limits_0^1 \sqrt[3]{2x^3 - 3x^2 - x + 1} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}}+5^{\sqrt{10-x}}} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module