समाकलन ज्ञात कीजिए: int frac{2x+3}{sqrt{3x^2- | vedclass

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Question

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ को हल करने के लिए, अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के गुणज के रूप में व्यक्त करें। $3x^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{6}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$

Vedclass · Answer

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ को हल करने के लिए, अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के गुणज के रूप में व्यक्त करें। $3x^2-2x+1$ का अवकलज $6x-2$ है। हम $2x+3 = \frac{1}{3}(6x-2) + \frac{11}{3}$ लिख सकते हैं। अतः, समाकलन इस प्रकार होगा: $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})}}$. पहले भाग के लिए, $u = 3x^2-2x+1$ लेने पर, $du = (6x-2)dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1}$ होता है। दूसरे भाग के लिए, पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = (x-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$. अतः, $\frac{11}{3\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2}} = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{x-1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right)$. इस प्रकार, अंतिम उत्तर $\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$

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यदि $\int \frac{(x^2-1)}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = A \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$, जहाँ $C$ एक स्थिरांक है, तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$ और $\int(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}) \, dx = f(x) + c$ जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है, तो $f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) =$

$\int \frac{\cos 7x - \cos 8x}{1 + 2 \cos 5x} dx = $

$\int \frac{\sec ^2 x}{\sin ^7 x} d x - \int \frac{7}{\sin ^7 x} d x =$

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