सीमा का मूल्यांकन करें: lim _{x rightarrow 0^ | vedclass

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Question

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}}

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$e^{2}$ है

Vedclass · Answer

(C) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\log \left(e^{x}+x\right)}{x}$.चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है, हम $L$'Hospital नियम लागू करते हैं:$\log L = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{d}{dx} \log \left(e^{x}+x\right)}{\frac{d}{dx} x} = \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}}{1}$.$x \rightarrow 0^{+}$ पर सीमा का मूल्यांकन करने पर:$\log L = \frac{e^{0}+1}{e^{0}+0} = \frac{1+1}{1+0} = 2$.इसलिए, $L = e^{2}$.

सीमा का मूल्यांकन करें: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}$

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यदि $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(3)=16$ और $f^{\prime}(3)=4$,तो $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x f(3)-3 f(x)}{x-3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(1) = 1$ और $f'(1) = 2$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 2^x-x^2 \sin x-x^2}{3^x+\cos x-3^x \cos x-1}=$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\int_{\frac{\pi }{2}}^x t \,dt}}{{\sin (2x - \pi )}}$ का मान है

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4^x-9^x}{x(4^x+9^x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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