સમીકરણોની સંહતિની સુસંગતતા તપાસો: $x+3y=5$ અને $2x+6y=8$.

નીચેની સમીકરણ પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લો: $x+2y-3z=a$,$2x+6y-11z=b$,અને $x-2y+7z=c$,જ્યાં $a, b$ અને $c$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે. તો સમીકરણ પ્રણાલી:

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ એવા છે કે $AB = B$ અને $a + d = 2021$ છે,તો $ad - bc$ ની કિંમત ...... છે.

જો સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=a$,$x-y+bz=2$,અને $2x+3y-z=1$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તો $b-5a=$

ધારો કે $S$ એ $\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ દર્શાવે છે કે જેથી સમીકરણોની સિસ્ટમ $\lambda x + y + z = 1$,$x + \lambda y + z = 1$,અને $x + y + \lambda z = 1$ અસંગત છે. તો,$\sum_{\lambda \in S} (|\lambda|^2 + |\lambda|)$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ,જે $AX = D$ ના મેટ્રિક્સ સમીકરણ સ્વરૂપમાં છે,તે અસંગત (inconsistent) હોય,તો $\frac{\text{rank of } A}{\text{rank of } AD}$ શું થાય?