यदि $(2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}$ है,तो $\lambda$ और $\mu$ ज्ञात कीजिए।

$6$ परिमाण वाला एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए,जो सदिशों $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = 4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ दोनों पर लंब हो।

यदि $\hat{i}+y \hat{j}$,$\hat{i}+2 \hat{k}$ और $3 \hat{j}+\hat{k}$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{6}$ वर्ग इकाई है,तो $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक शून्येतर सदिश $\vec{a}$,सदिशों $\hat{j}-\hat{k}$ और $3\hat{j}-2\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल और सदिशों $2\hat{i}+3\hat{j}$ और $\hat{i}-3\hat{j}$ द्वारा निर्धारित समतल की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,तो सदिशों $\vec{a}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि तीन बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $i + j + k, 2i + 3j - 4k$ और $7i + 4j + 9k$ हैं,तो त्रिभुज $ABC$ वाले समतल के लंबवत इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 3 \hat{i} - \beta \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$,तीन सदिश हैं। यदि $\overrightarrow{a}$ का $\overrightarrow{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{10}{3}$ है और $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।