यदि एक शून्येतर सदिश vec{a},सदिशों hat{j}-hat | vedclass

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Question

(D) सदिशों $\hat{j}-\hat{k}$ और $3\hat{j}-2\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_1$ का अभिलंब $\vec{n}_1$ इस प्रकार है: $\vec{n}_1 = (\hat{j}-\hat{k}) 	i

Vedclass · Accepted Answer

$\cos^{-1}\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

Vedclass · Answer

(D) सदिशों $\hat{j}-\hat{k}$ और $3\hat{j}-2\hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_1$ का अभिलंब $\vec{n}_1$ इस प्रकार है: $\vec{n}_1 = (\hat{j}-\hat{k}) 	imes (3\hat{j}-2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+3) = \hat{i}$. सदिशों $2\hat{i}+3\hat{j}$ और $\hat{i}-3\hat{j}$ द्वारा निर्धारित समतल $P_2$ का अभिलंब $\vec{n}_2$ इस प्रकार है: $\vec{n}_2 = (2\hat{i}+3\hat{j}) 	imes (\hat{i}-3\hat{j}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 0 \ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = \hat{k}(-6-3) = -9\hat{k}$. चूंकि $\vec{a}$ समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समांतर है,इसलिए यह $\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2$ के समांतर है: $\vec{a} = k(\vec{n}_1 	imes \vec{n}_2) = k(\hat{i} 	imes -9\hat{k}) = k(9\hat{j}) = 9k\hat{j}$. हम $\vec{a} = \pm\hat{j}$ ले सकते हैं। $\vec{a} = \hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ के बीच का कोण $	heta$ इस प्रकार है: $\cos 	heta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. दिशा $\vec{a} = -\hat{j}$ को ध्यान में रखते हुए,हमें $\cos 	heta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है। अतः,$	heta = \cos^{-1}\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}ight)$.

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