अवकल समीकरण (x-y)(dx+dy)=dx-dy का विशिष्ट हल | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-y)(dx+dy)=dx-dy$पदों को व्यवस्थित करने पर:$(x-y)dx + (x-y)dy = dx - dy$$(x-y+1)dy = (1-x+y)dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{1-(

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$\log |x-y|=x+y+1$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x-y)(dx+dy)=dx-dy$पदों को व्यवस्थित करने पर:$(x-y)dx + (x-y)dy = dx - dy$$(x-y+1)dy = (1-x+y)dx$$\frac{dy}{dx} = \frac{1-(x-y)}{1+(x-y)}$ ............$(1)$माना $x-y=t$. तब $1-\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = 1-\frac{dt}{dx}$.समीकरण $(1)$ में मान रखने पर:$1-\frac{dt}{dx} = \frac{1-t}{1+t}$$\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{1-t}{1+t} = \frac{1+t-1+t}{1+t} = \frac{2t}{1+t}$चरों को पृथक करने पर:$\frac{1+t}{2t} dt = dx$$\frac{1}{2} (\frac{1}{t} + 1) dt = dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\frac{1}{2} (\log |t| + t) = x + C$$\log |t| + t = 2x + 2C$$\log |x-y| + x - y = 2x + C_1$$\log |x-y| = x + y + C_1$दिया गया है कि $x=0$ पर $y=-1$:$\log |0 - (-1)| = 0 + (-1) + C_1$$\log 1 = -1 + C_1$$0 = -1 + C_1 \Rightarrow C_1 = 1$अतः,विशिष्ट हल $\log |x-y| = x + y + 1$ है।

अवकल समीकरण $(x-y)(dx+dy)=dx-dy$ का विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x=0$ होने पर $y=-1$ है। (संकेत: $x-y=t$ रखें)

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