फलन $f(x) = 12x^{\frac{4}{3}} - 6x^{\frac{1}{3}}$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ में निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया फलन $f(x) = 12x^{\frac{4}{3}} - 6x^{\frac{1}{3}}$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 12 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = 16x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{16x - 2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2(8x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$8x - 1 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = \frac{1}{8}$.
साथ ही,$x = 0$ पर $f'(x)$ अपरिभाषित है। अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \frac{1}{8}$ हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं $x = -1$ तथा $x = 1$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-1) = 12(-1)^{\frac{4}{3}} - 6(-1)^{\frac{1}{3}} = 12(1) - 6(-1) = 12 + 6 = 18$.
$f(0) = 12(0)^{\frac{4}{3}} - 6(0)^{\frac{1}{3}} = 0$.
$f(\frac{1}{8}) = 12(\frac{1}{8})^{\frac{4}{3}} - 6(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = 12(\frac{1}{16}) - 6(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - 3 = \frac{3 - 12}{4} = -\frac{9}{4}$.
$f(1) = 12(1)^{\frac{4}{3}} - 6(1)^{\frac{1}{3}} = 12 - 6 = 6$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष उच्चतम मान $18$ है जो $x = -1$ पर प्राप्त होता है और निरपेक्ष निम्नतम मान $-\frac{9}{4}$ है जो $x = \frac{1}{8}$ पर प्राप्त होता है।