मान लीजिए कि sqrt{3} एक दिए गए शंकु की त्रिज् | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए शंकु की त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ और अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$ है।शंकु की ऊँचाई $H = R \cot(\alpha) = \sqrt{3} \cot(\frac{\p

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$\frac{1}{3}$

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(D) मान लीजिए शंकु की त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ और अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \frac{\pi}{3}$ है।शंकु की ऊँचाई $H = R \cot(\alpha) = \sqrt{3} \cot(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} 	imes \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$ है।मान लीजिए अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से, $\frac{R-r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.अतः, $h = \frac{R-r}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-r}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{r}{\sqrt{3}}$.बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (1 - \frac{r}{\sqrt{3}}) = \pi (r^2 - \frac{r^3}{\sqrt{3}})$.$V$ को अधिकतम करने के लिए, $\frac{dV}{dr} = \pi (2r - \frac{3r^2}{\sqrt{3}}) = \pi (2r - \sqrt{3}r^2) = 0$.चूँकि $r 
eq 0$, इसलिए $2 - \sqrt{3}r = 0$, जिससे $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$.बेलन की ऊँचाई $h = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{2}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होती है।

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