$f$ ના તમામ અસતત બિંદુઓ શોધો,જ્યાં $f$ એ $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{જો } x \ge 1 \\ x^2 + 1, & \text{જો } x < 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $f$ એ સતત વિધેય છે?

(NONE) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{જો } x \ge 1 \\ x^2 + 1, & \text{જો } x < 1 \end{cases}$ છે.
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 1$ હોય,તો $f(c) = c^2 + 1$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 + 1) = c^2 + 1$ થાય છે. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x < 1$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 1$ હોય,તો $f(1) = 1 + 1 = 2$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$ છે.
જમણી બાજુનું લક્ષ $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ છે.
કારણ કે $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$,તેથી $f$ એ $x = 1$ આગળ સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c > 1$ હોય,તો $f(c) = c + 1$. લક્ષ $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 1) = c + 1$ થાય છે. કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ તમામ $x > 1$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ ને કોઈ અસતત બિંદુઓ નથી અને તે એક સતત વિધેય છે.