વક્રો $y^{2}=4ax$ અને $x^{2}=4by$ ના છેદકોણ શોધો.

(A) આપેલ વક્રો $y^{2}=4ax \dots (i)$ અને $x^{2}=4by \dots (ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,આપણે $(i)$ માં $y = \frac{x^{2}}{4b}$ મૂકીએ છીએ:
$\left(\frac{x^{2}}{4b}\right)^{2} = 4ax \Rightarrow \frac{x^{4}}{16b^{2}} = 4ax \Rightarrow x^{4} = 64ab^{2}x$.
આનાથી $x(x^{3} - 64ab^{2}) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 0$ અથવા $x = 4a^{1/3}b^{2/3}$.
છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ છે.
$(i)$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{4a}{2y} = \frac{2a}{y}$. $(ii)$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{4b} = \frac{x}{2b}$.
$(0,0)$ પર,$(i)$ નો સ્પર્શક શિરોલંબ $(x=0)$ છે અને $(ii)$ નો સ્પર્શક સમક્ષિતિજ $(y=0)$ છે,તેથી ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
$(4a^{1/3}b^{2/3}, 4a^{2/3}b^{1/3})$ પર,ઢાળ $m_{1} = \frac{2a}{4a^{2/3}b^{1/3}} = \frac{1}{2}(\frac{a}{b})^{1/3}$ અને $m_{2} = \frac{4a^{1/3}b^{2/3}}{2b} = 2(\frac{a}{b})^{1/3}$ છે.
ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2(a/b)^{1/3} - 0.5(a/b)^{1/3}}{1 + 2(a/b)^{1/3} \cdot 0.5(a/b)^{1/3}}| = \frac{1.5(a/b)^{1/3}}{1 + (a/b)^{2/3}} = \frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3a^{1/3}b^{1/3}}{2(a^{2/3}+b^{2/3})}\right)$.