परवलय y^{2}=4ax और रेखा y=mx के बीच घिरा हुआ | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ और रेखा $y=mx$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके प्राप्त किया जा सकता है।$y=mx$ को $y^{2}=4ax$ मे

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$\frac{8a^{2}}{3m^{3}}$

Vedclass · Answer

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ और रेखा $y=mx$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके प्राप्त किया जा सकता है।$y=mx$ को $y^{2}=4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$(mx)^{2}=4ax \implies m^{2}x^{2}-4ax=0 \implies x(m^{2}x-4a)=0$.अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=\frac{4a}{m^{2}}$ हैं।क्षेत्रफल $A$,ऊपरी वक्र (परवलय) और निचले वक्र (रेखा) के बीच के अंतर का $x=0$ से $x=\frac{4a}{m^{2}}$ तक का समाकलन है:$A = \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} (\sqrt{4ax} - mx) dx$$A = 2\sqrt{a} \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} x^{1/2} dx - m \int_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} x dx$$A = 2\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}} - m \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{\frac{4a}{m^{2}}}$$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} \left( \frac{4a}{m^{2}} \right)^{3/2} - \frac{m}{2} \left( \frac{4a}{m^{2}} \right)^{2}$$A = \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{8a^{3/2}}{m^{3}} - \frac{m}{2} \cdot \frac{16a^{2}}{m^{4}}$$A = \frac{32a^{2}}{3m^{3}} - \frac{8a^{2}}{m^{3}} = \frac{32a^{2} - 24a^{2}}{3m^{3}} = \frac{8a^{2}}{3m^{3}}$ वर्ग इकाई।

परवलय $y^{2}=4ax$ और रेखा $y=mx$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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